Hình ảnh minh họa: Hợp của tập hợp A và B
Trong toán học, phép hợp (còn được gọi là hội hoặc union) của hai tập hợp A và B là tập gồm tất cả các phần tử của A và các phần tử của B, mà không chứa phần tử nào khác. Ký hiệu của phép hợp A và B là "A ∪ B". Đây là quá trình gộp hai tập hợp lại với nhau.
Hợp của hai tập hợp
Hợp của hai tập hợp A và B là tập các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, hoặc thuộc cả hai A và B. Sử dụng ký pháp xây dựng tập hợp, ta có công thức:
A ∪ B = { x : x ∈ A hoặc x ∈ B }
Lấy ví dụ, nếu A = {1, 2, 3, 4} và B = {1, 2, 4, 6, 7} thì A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}.
Tiếp theo, hãy xem một ví dụ về tính chất đại số của phép hợp. Số 9 không nằm trong hợp của các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số chẵn {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không phải số nguyên tố và cũng không phải số chẵn.
Tập hợp không thể lặp lại phần tử, do đó hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.
Tính chất đại số
Phép hợp hai tập hợp là phép toán hai ngôi có tính kết hợp. Nghĩa là, cho bất kỳ tập A, B, và C:
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)Phép hợp còn có tính giao hoán, do đó có thể đổi chỗ các tập hợp trong biểu thức.
Tập rỗng là phần tử trung hòa cho phép hợp. Tức là, A ∪ ∅ = A. Tương tự, phép hợp còn có tính lũy đẳng: A ∪ A = A. Tất cả các tính chất này đều tương tự với phép tuyển.
Hợp hữu hạn các tập hợp
Mở rộng hơn, ta có thể xét hợp của nhiều tập hợp cùng một lúc. Ví dụ chẳng hạn, hợp của ba tập A, B và C chứa tất cả các phần tử thuộc A, B và C, và không gì khác nữa. Do đó, x là phần tử thuộc hợp của A ∪ B ∪ C khi và chỉ khi x thuộc ít nhất một trong ba tập A, B và C.
Hợp hữu hạn là hợp của hữu hạn số các tập hợp; song điều này không có nghĩa phép hợp chỉ áp dụng với hữu hạn số các tập hợp hay phép hợp chỉ áp dụng với tập hữu hạn.
Hợp của một họ tập hợp
Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là họ vô hạn. Nếu M là tập hợp hay lớp mà các phần tử là các tập hợp, thì x là phần tử thuộc hợp của M khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử A thuộc M sao cho x là phần tử của A.
Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, A ∪ B ∪ C là hợp của họ {A, B, C}. Ngoài ra, nếu họ M rỗng, thì hợp của M cũng rỗng.
Ký hiệu
Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập S₁, S₂, S₃, ..., Sₙ, ta có thể viết S₁ ∪ S₂ ∪ S₃ ∪ ⋯ ∪ Sₙ hoặc ⋃ᵢ₌₁ⁿ Sᵢ. Cách ký hiệu khác bao gồm ⋃M, ⋃A∈M A, và ⋃ᵢ∈I Aᵢ. Cách ký hiệu cuối {Aᵢ : i ∈ I} được dùng khi I là tập chỉ số và Aᵢ là tập hợp với mọi i ∈ I. Trong trường hợp tập chỉ số I là tập các số tự nhiên, ta có thể dùng ký hiệu ⋃ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ, tương tự với tổng vô hạn trong chuỗi.
Mã hóa ký hiệu
Trong Unicode, phép hợp được biểu diễn bằng ký tự U+222A (∪ Union). Trong TeX, ∪ được viết là cup, còn ⋃ được viết từ bigcup.
Đến đây chúng ta đã tìm hiểu về phép hợp, một phép toán quan trọng trong đại số tập hợp. Phép hợp có tính chất đại số đa dạng và có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan khác.
Tham khảo:
- Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
- Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục
