Ảnh chỉ mang tính chất minh họa
Trong lĩnh vực toán học, lý thuyết ổn định tập trung vào nghiên cứu tính ổn định của các giải pháp của phương trình vi phân và quỹ đạo của các hệ động học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu nhỏ trong các điều kiện ban đầu. Trong ví dụ phương trình nhiệt, một ví dụ về phương trình vi phân riêng phần ổn định, nhiễu nhỏ từ dữ liệu ban đầu dẫn đến biến đổi nhỏ trong nhiệt độ tại một thời điểm sau đó. Điều này được xem là kết quả của nguyên tắc tối đa.
Trong phân tích định tính của các hệ động học, một quỹ đạo được gọi là ổn định Lyapunov nếu quỹ đạo phía trước của mỗi điểm trong một lân cận đủ nhỏ hoặc trong một lân cận nhỏ (nhưng có thể lớn hơn). Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau đã được phát triển để chứng minh tính ổn định hoặc không ổn định của một quỹ đạo. Dưới các điều kiện thuận lợi, câu hỏi này có thể được giảm xuống thành một bài toán khác, được nghiên cứu chi tiết là vector riêng của ma trận. Một phương pháp tổng quát hơn là sử dụng hàm Lyapunov. Trong thực tế, một số tiêu chuẩn ổn định khác nhau được sử dụng.
Tổng quan về hệ động học
Nhiều thành phần của lý thuyết động học định tính quyết định tính của phương trình vi phân và hệ động học nghiên cứu tính tiệm cận của các giải pháp và quỹ đạo, tức là những gì sẽ xảy ra với hệ động học sau một thời gian dài. Loại đơn giản nhất của hành vi được đưa ra bởi các điểm cân bằng hoặc các điểm cố định, cũng như các quỹ đạo chu kỳ. Nếu một quỹ đạo đặc biệt được hiểu rõ, điều tất nhiên là ta sẽ biết được trạng thái tiếp theo cho dù chỉ có một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu, vì điều đó sẽ dẫn đến hành vi tương tự. Lý thuyết ổn định giải quyết các câu hỏi sau: liệu một quỹ đạo lân cận có tiếp tục ở gần một quỹ đạo cho trước mãi mãi? Liệu nó sẽ hội tụ với quỹ đạo cho trước hay không? (Quỹ đạo sau có thuộc tính mạnh hơn). Trong trường hợp trước, quỹ đạo được gọi là ổn định; trong trường hợp sau, nó được gọi là ổn định tiệm cận và quỹ đạo cho trước được cho là quỹ đạo thu hút.
Một lời giải cân bằng fe cho một hệ thống tự hành của hệ phương trình vi phân thông thường bậc một được gọi là ổn định nếu với mọi (nhỏ) ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho mọi lời giải f(t) có các điều khiển đầu nằm trong khoảng cách δ cụ thể ‖ f(t0) - fe ‖ < δ của điểm cân bằng duy trì trong khoảng ε cụ thể ‖ f(t) - fe ‖ < ε đối với mọi t ≥ t0.
Ổn định tiệm cận xảy ra khi ổn định và, ngoài ra, tồn tại δ0 > 0 sao cho khi δ0 > ‖ f(t0) - fe ‖ thì f(t) → fe khi t → ∞.
Tình trạng ổn định có nghĩa là các quỹ đạo không thay đổi quá nhiều dưới ảnh hưởng của nhiễu nhỏ. Tình hình ngược lại, trong đó một quỹ đạo lân cận bị đẩy ra khỏi quỹ đạo ban đầu, cũng là điều đáng quan tâm. Nói chung, làm xáo trộn tình trạng ban đầu trong một số hướng, dẫn đến quỹ đạo tiếp cận quỹ đạo ban đầu và theo các hướng khác để quỹ đạo thoát khỏi quỹ đạo ban đầu đó. Cũng có thể có các hướng mà hành vi của quỹ đạo chao đảo (bị nhiễu) là phức tạp hơn (không hội tụ cũng không thoát khỏi hoàn toàn), và do đó lý thuyết ổn định không cung cấp đầy đủ thông tin về đặc tính động học của nó.
Một trong những ý tưởng quan trọng trong lý thuyết ổn định là hành vi định tính của một quỹ đạo dưới ảnh hưởng của nhiễu nhỏ có thể được phân tích bằng cách sử dụng phép tuyến tính hóa của hệ thống lân cận quỹ đạo đó. Đặc biệt, tại mỗi điểm cân bằng của một hệ thống động học trơn với một không gian pha n-chiều, có một ma trận n×n cho trước A có giá trị riêng đặc trưng cho các hành vi của các điểm lân cận (Định lý Hartman-Grobman). Chính xác hơn, nếu tất cả các riêng là những số thực âm hoặc số phức với phần thực âm, thì điểm này là một điểm thu hút ổn định điểm cố định, và các điểm lân cận hội tụ vào nó ở một tốc độ hàm mũ, gọi là ổn định Lyapunov và ổn định theo cấp số nhân. Nếu không có riêng nào là phần ảo hoàn toàn (hoặc zero), thì hướng thu hút và hướng đẩy lùi có liên quan đến không gian riêng của ma trận A với riêng mà có phần thực là âm và tương ứng là dương. Các phát biểu tương tự được biết đến cho các nhiễu loạn của các quỹ đạo phức tạp hơn.
Tính ổn định của các điểm cố định
Loại đơn giản nhất của một quỹ đạo là một điểm cố định hoặc một trạng thái cân bằng. Nếu một hệ thống cơ khí ở trong trạng thái cân bằng ổn định, thì lực đẩy nhỏ sẽ dẫn đến một chuyển động địa phương, ví dụ, các dao động nhỏ trong trường hợp của con lắc. Trong một hệ thống giảm xóc, một trạng thái cân bằng thực ra là ổn định tiệm cận. Mặt khác, đối với một trạng thái cân bằng không ổn định, chẳng hạn như một quả bóng đang nằm trên một đỉnh đồi, một lực đẩy nhỏ nhất định sẽ dẫn đến một chuyển động với biên độ lớn có thể hoặc không thể hội tụ về trạng thái ban đầu.
Có những thử nghiệm hữu ích về tính ổn định trong trường hợp của một hệ thống tuyến tính. Tính ổn định của một hệ thống phi tuyến thường có thể được suy ra từ tính ổn định của hệ thống tuyến tính hóa của nó.
Ánh xạ
Một cách tổng quát để thiết lập tính ổn định Lyapunov hoặc ổn định tiệm cận của một hệ thống động học là bằng phương pháp hàm Lyapunov.
Một hệ thống tự hành có nghiệm là hằng số xn + 1 = f(xn), n = 0, 1, 2, ... có một nghiệm là hằng số x(t) = 0. Điểm này được gọi là điểm cố định ổn định nếu đạo hàm của f tại điểm này nhỏ hơn 1, và không ổn định nếu nó lớn hơn 1. Điều này có thể được giải thích bằng việc xấp xỉ tuyến tính của hàm f(x) bằng đạo hàm của nó tại xấp xỉ tuyến tính ađặc trưng. Khi đó, với một vectơ bất kỳ x, ta có f(x) ≈ f(a) + f ' (a)(x - a). Điều này cho phép chúng ta suy ra rằng nếu |f ' (a)| < 1 thì |(x n + 1 - a)/(x n - a)| < 1.
Các hệ thống tự hành tuyến tính
Sự ổn định của các điểm cố định của một hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số không đổi bậc một có thể được phân tích bằng cách sử dụng các vectơ riêng của ma trận tương ứng.
Một hệ thống tự hành x ′ = Ax, trong đó x(t) ∈ Rn và A là một ma trận n x n với các phần tử thực, có một nghiệm là hằng số x(t) = 0. Nếu tất cả các vectơ riêng của A đều có phần thực hoàn toàn âm, thì lời giải là ổn định tiệm cận. Tương tự, nếu có ít nhất một vectơ riêng của A với phần thực là dương, thì lời giải là không ổn định tại điểm cố định.
Các thuật toán Routh-Hurwitz được sử dụng để xác định tính ổn định của các đa thức.
Các hệ thống tự hành phi tuyến
Ổn định tiệm cận của các điểm cố định của một hệ thống phi tuyến thường có thể được thiết lập bằng cách sử dụng định lý Hartman-Grobman.
Ổn định tiệm cận có nghĩa là các quỹ đạo không thay đổi quá nhiều dưới sự ảnh hưởng của nhiễu nhỏ. Tình hình ngược lại, trong đó một quỹ đạo lân cận được đẩy ra khỏi quỹ đạo ban đầu, cũng là một vấn đề đáng quan tâm. Nói chung, việc xáo trộn trạng thái ban đầu theo một số hướng dẫn đến quỹ đạo tiến gần với quỹ đạo ban đầu và theo các hướng khác để quỹ đạo thoát ra khỏi quỹ đạo ban đầu. Cũng có thể có các hướng mà hành vi của quỹ đạo chao đảo (bị nhiễu) phức tạp hơn (không hội tụ cũng không thoát hoàn toàn), và do đó lý thuyết ổn định không cung cấp đầy đủ thông tin về đặc tính động học của nó.
Giả sử rằng v là một trường vector hàm C1 trong Rn mà mất mát tại một điểm p, v(p) = 0. Khi đó, hệ tự hành x' = v(x) có một lời giải là hằng số x(t) = p. Cho Jp(v) là ma trận Jacobian n x n của trường vector v tại điểm p. Nếu tất cả các vectơ riêng của J đều có phần thực âm hoặc là số phức với giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, thì lời giải là ổn định tiệm cận. Điều kiện này có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.
Hàm Lyapunov cho các hệ động học tổng quát
Một cách tổng quát để thiết lập tính ổn định Lyapunov hoặc ổn định tiệm cận của một hệ động học là bằng phương pháp hàm Lyapunov.
